Ilmu Statistika: Januari 2018

DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU

A. Distribusi Peluang Diskrit

1. Definisi

Distribusi peluang diskrit adalah suatu tabel atau rumus yang mencantumkan semuakemungkinan nilai suatu pengubah acak diskrit (ruang contoh diskrit mangandung jumlah titik yang terhingga) dan juga peluangnya.

2. Macam-macam Distribusi Peluang Diskrit

2.1 Distribusi Binomial

Kriteria:

a. Hanya terdapat satu dari dua keluaran yang memungkinan, yakni sukses atau gagal.

b. Percobaan/pengujian dilakukan dalam kondisi yang sama dan dengan probabilitas sukses p yang konstan.

c. Jumlah percobaan/pengujian n yang sudah ditetapkan (fixed).

d. Keluaran percobaan/pengujian berifat independen.

e. Variabel acak X adalah jumlah total dari n kejadian sukses dari n percobaan.

PDF Distribusi Binomial variable acak :

X ~ Binomial (n,θ)

Mean Distribusi Binomial = nθ

Variansi Distribusi Binomial : nθ(1-θ)

2.2 Distribusi Poisson

Distribusi poisson digunakan untuk mengamati jumlah kejadian-kejadian khusus yang terjadi dalam satu satuan waktu atau ruang Kriteria:

a. Suatu eksperimen yang meliputi pencacahan banyaknya suatu peristiwa terjadi dalam satuan unit yang ditentukan. Unit yang ditentukan ini biasanya adalah unit waktu atau ruang

b. Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan unit

c. Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam setiap satuan unit saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada setiap satuan unit yang lainnya.

Jika p sangat kecil dan n cenderung tidak terbatas, sehingga v=np . Maka pdf distribusi poisson adalah sebagai berikut:

CDF Distribusi Poisson :

Sehingga :

Mean dan Variansi :

2.3 Distibusi Hipergeometrik

Kriteria:

a. Populasi berukuran m

b. Setiap anggota populasi dapat dinyatakan sebagai sukses atau gagal

c. Suatu sampel berukuran n, dipilih dari s populasi tanpa pergantian dimana setiap himpunan bagian beranggotakan n yang dapat dibentuk dari populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih menjadi sampel.

Mean dan Variansi Distribusi Hipergeometrik :

2.4 Distribusi Multinomial

Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok. Sebagai generalisasi dari distribusi binomial adalah denganmelonggarkan kriteria banyaknya outcome yg mungkin jadi > 2.Dalam hal ini maka percobaannya disebut percobaan multinomial

sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi multinomial.

Definisi:

Misal setiap percobaan bisa menghasilkan k outcome yg berbeda,E1, E2, …,Ek masing-,masing dengan probabiliitas p1, p2, …,pk.

Maka distribusi multinomial f(x1,x2,…,xk; p1,p2, ..,pk, n) akan memberikan probabilitas

bahwa E1 akan muncul sebanyak x1 kali,E2 akan muncul sebanyak x2 kali, dst dalam pengaman

independen sebanyak n kali, jadix1+ x2+ ….+ xk=n dengan p1+p2+ …+ pk =1

B. Distribusi Peluang Kontinu

1. Definisi

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:

F(x) ≥ 0 untuk semua x є R
∫∞∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫∞∞ 𝑓(𝑥)𝑑x

2. Macam-macam Distribusi Peluang Kontinu

2.1. Distribusi Normal (Gaussian)

Distribusi Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting : Distribusi normal terjadi secara alamiah. Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng.

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 dimana −∞ < 𝜇𝑥 < ∞ dan 𝜎𝑥 > 0 jika fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

Dimana :

𝜇𝑥 = mean

𝜎𝑥 = deviasi standard

𝜋 = nilai konstan yaitu 3, 1416

𝑒 = nilai konstan yaitu 2,7183

Untuk setiap nilai 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥, kurva fungsi akan simetris terhadap 𝜇𝑥 dan memiliki total luas dibawah kurva tepat 1. Nilai dari 𝜎𝑥 menentukan bentangan dari kurva sedangkan 𝜇𝑥 menentukan pusat simetrisnya.

2.2 Distribusi Stundent's t

Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil daru huruf terakhir kata “student”. Bentuk persamaan fungsinya :

Berlaku untul −∞ < 𝑡 < ∞ dan K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1.

Bilangan n – 1 disebut derajat kebebasan (dk). Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2 – 1 = 1

2.3 Distribusi Chi Square

Distribusi chi-kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistik inferensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk 𝛼 = 𝑣/2, dimana vadalah bilangan bulat positif dan faktor skala 𝛽 = 2.

Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

Berikut ini diberikan rumusan beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi chi-kuadrat.

Mean (Nilai Harapan) :

𝜇𝑥 = 𝐸( ㄰) = 𝑣 Varians :

𝜎2𝑥 = 2𝑣

Kemencengan (skewness) :

Keruncingan (kurtosis) :

2.4 Distribusi Fischer (F)

Menurut Gasperz (1989:251), secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai: