Tugas VI- Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinu

DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU

A. Distribusi Peluang Diskrit

     1. Definisi

         Distribusi peluang diskrit adalah suatu tabel atau rumus yang mencantumkan semuakemungkinan nilai suatu pengubah acak diskrit (ruang contoh diskrit mangandung jumlah titik yang terhingga) dan juga peluangnya.

     2. Macam-macam Distribusi Peluang Diskrit

        2.1 Distribusi Binomial

Kriteria:

a. Hanya terdapat satu dari dua keluaran yang memungkinan, yakni sukses atau gagal.

b. Percobaan/pengujian dilakukan dalam kondisi yang sama dan dengan probabilitas sukses p yang konstan.

c.  Jumlah percobaan/pengujian n yang sudah ditetapkan (fixed).

d.  Keluaran percobaan/pengujian berifat independen.

e.  Variabel acak X adalah jumlah total dari n kejadian sukses dari n percobaan.

PDF Distribusi Binomial variable acak :

X ~ Binomial (n,θ)

Mean Distribusi Binomial = nθ

Variansi Distribusi Binomial : nθ(1-θ)

2.2 Distribusi Poisson

Distribusi poisson digunakan untuk mengamati jumlah kejadian-kejadian khusus yang terjadi dalam satu satuan waktu atau ruang Kriteria:

a.      Suatu eksperimen yang meliputi pencacahan banyaknya suatu peristiwa terjadi dalam satuan unit yang ditentukan. Unit yang ditentukan ini biasanya adalah unit waktu atau ruang

b.     Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan unit

c.      Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam setiap satuan unit saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada setiap satuan unit yang lainnya.

Jika p sangat kecil dan n cenderung tidak terbatas, sehingga v=np . Maka pdf distribusi poisson adalah sebagai berikut:

CDF Distribusi Poisson :

Sehingga :         

Mean dan Variansi :

        2.3 Distibusi Hipergeometrik

Kriteria:

a.      Populasi berukuran m

b.     Setiap anggota populasi dapat dinyatakan sebagai sukses atau gagal

c.      Suatu sampel berukuran n, dipilih dari s populasi tanpa pergantian dimana setiap himpunan bagian beranggotakan n yang dapat dibentuk dari populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih menjadi sampel.

Mean dan Variansi Distribusi Hipergeometrik :

      2.4 Distribusi Multinomial

            Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok. Sebagai generalisasi dari distribusi binomial adalah denganmelonggarkan kriteria banyaknya outcome yg mungkin jadi > 2.Dalam hal ini maka percobaannya disebut percobaan multinomial

sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi multinomial.

Definisi:

Misal setiap percobaan bisa menghasilkan k outcome yg berbeda,E1, E2, …,Ek masing-,masing dengan probabiliitas p1, p2, …,pk.

Maka distribusi multinomial f(x1,x2,…,xk; p1,p2, ..,pk, n) akan memberikan probabilitas 

bahwa E1 akan muncul sebanyak x1 kali,E2 akan muncul sebanyak x2 kali,  dst dalam pengaman

independen sebanyak n kali, jadix1+ x2+ ….+ xk=n dengan p1+p2+  …+ pk =1

B. Distribusi Peluang Kontinu

     1. Definisi

       Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:

1. F(x) ≥ 0 untuk semua x є R
2. ∫∞∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
3. 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫∞∞ 𝑓(𝑥)𝑑x

     2. Macam-macam Distribusi Peluang Kontinu

      2.1. Distribusi Normal (Gaussian)

             Distribusi Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting : Distribusi normal terjadi secara alamiah. Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng.

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 dimana −∞ < 𝜇𝑥 < ∞ dan 𝜎𝑥 > 0 jika fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

Dimana :

𝜇𝑥 = mean

𝜎𝑥 = deviasi standard

𝜋 = nilai konstan yaitu 3, 1416

𝑒 = nilai konstan yaitu 2,7183

          Untuk setiap nilai 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥, kurva fungsi akan simetris terhadap 𝜇𝑥 dan memiliki total luas dibawah kurva tepat 1. Nilai dari 𝜎𝑥 menentukan bentangan dari kurva sedangkan 𝜇𝑥 menentukan pusat simetrisnya.

      2.2 Distribusi Stundent's t

            Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil daru huruf terakhir kata “student”. Bentuk persamaan fungsinya :

Berlaku untul −∞ < 𝑡 < ∞ dan K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1.

Bilangan n – 1 disebut derajat kebebasan (dk). Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2 – 1 = 1

      2.3 Distribusi Chi Square

            Distribusi chi-kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistik inferensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk 𝛼 = 𝑣/2, dimana vadalah bilangan bulat positif dan faktor skala 𝛽 = 2.

Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

Berikut ini diberikan rumusan beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi chi-kuadrat.

Mean (Nilai Harapan) :

𝜇𝑥 = 𝐸( ㄰) = 𝑣 Varians :

𝜎2𝑥 = 2𝑣

Kemencengan (skewness) :

Keruncingan (kurtosis) :

      2.4 Distribusi Fischer (F)

            Menurut Gasperz (1989:251), secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai:

Dimana :

Oleh karena itu sebaran F mempunyai dua derajat bebas yaitu 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2.

Sumber:

http://syahrizaakfa.blogspot.co.id/2016/01/distribusi-probabilitas-diskrit_29.html

http://smartriset.blogspot.co.id/2012/12/distribusi-diskrit-dan-macamnya.html

https://imammulhakimsite.wordpress.com/2016/01/22/distribusi-peluang-kontinu/

http://www.aksiomaid.com/Matematika/Ringkasan-Materi/0127010600000000/DISTRIBUSI-BINOMIAL-DAN-VARIABEL-ACAK/DISTRIBUSI-MULTINOMIAL

Tugas V - Variabel Acak

VARIABEL ACAK

1. Pengertian dan Jenis

    Variabel acak ialah deskripsi numerik dari hasil percobaan.

   Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil      percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

  1.1 Variabel Acak Diskrit

      Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

Contoh: a. Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah koin(uang logam)

              b. Jumlah anak dalam suatu keluarga

  1.2 Variabel Acak Kontinu

        Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

Contoh: a. Usia penduduk suatu daerah

              b. Panjang beberapa helai kain

2. Distribusi (Fungsi) Probabilitas Variabel Acak

  2.1 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit

     Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x). Dapat ditulis sebagai berikut:

Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X

Syarat fungsi probabilitas diskrit: a. p(x) ³ 0 atau 0 £ p(x) £ 1

                                                      b. S p(x) = 1

                                                      c. Fungsi distribusi probabilitas diskrit tidak boleh negatif

  2.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu

     Distribusi probabilitas variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sring disebut sebagai fungsi kepadatan atau fungsi kepadatan probabilitas dan bukan fungsi probabilitas. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1. Dapat ditulis sebagai berikut:

Syarat fungsi probabilitas kontinu: 

3. Distribusi (Fungsi) Probabilitas Kumulatif 

  3.1 Distribusi Probabilitas Kumulatif  Variabel Acak Diskrit

    Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.

Dapat ditulis sebagai berikut: 

  3.2 Distribusi Probabilitas Kumulatif  Variabel Acak Kontinu

       Kalau pada variabel acak diskrit, fungsi probabilitas kumulatif dihitung dengan cara penjumlahan maka pada variabel acak kontinu, probabilitas kumulatif dicari dengan integral.

Dapat ditulis sebagai berikut: 

Sumber:

http://dedenstatistics.blogspot.co.id/2012/12/variabel-acak-random-variable.html

https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjL7ISnlO7XAhXFkJQKHcbEDkMQFghFMAU&url=https%3A%2F%2Filkomitt.files.wordpress.com%2F2012%2F10%2F1-teori-pendukung.ppt&usg=AOvVaw2f_stRiC5GbWryTL3WdlpK

http://antobourget.blogspot.co.id/2016/01/pengantar-statistika-distribusi-peluang.html

Tugas IV - Probabilitas

PROBABILITAS

A. Pengertian Probabilitas

    Probabilitas ialah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tetapi juga keuangan, sains dan filsafat.

B. Konsep Probabilitas

    Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya sepasang kambing melahirkan seekor sapi.

Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui, yaitu:

1. Eksperimen

2. Hasil (Outcome)

3. Kejadian atau Peristiwa (Event)

Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu bersisi enam digulirkan adalah ${\displaystyle 1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}}$

C. Aturan Dasar Probabilitas

    Secara umum beberapa kombinasi dari kejadian dalam sebuah eksperimen dapat dihitung probabilitas berdasarkan dua aturan yaitu aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

     1. Aturan Penjumlahan
      Menurut jenis kejadiannya dapat dibedakan kejadian saling meniadakan (mutually exclusive ) dan kejadian tidak saling meniadakan.      1.1 Kejadian saling meniadakan (mutually exclusive )         Kejadian saling meniadakan adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah kejadian yang saling meniadakan. Jika A telah terjadi, maka kejadian B tidak akan terjadi. Jika dua kejadian A dan B saling meniadakan, maka: P( A atau B ) = P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ), untuk tiga kejadian saling meniadakan P ( A atau B atau C ) = P ( A U B U C ) = P(A) + P(B) + P(C).       1.2 Kejadian tidak saling meniadakan (non mutually exclusive)            Kejadian tidak saling meniadakan adalah dimana sebuah kejadian terjadi,kejadian kedua juga terjadi. Hal  ini mencakup bahwa kejadian satu dengan lainnya terjadi yang tidak saling meniadakan, jadi kejadian tersebut. Jika dua kejadian A dan B saling meniadakan, maka : P( A atau B ) = P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P(A dan B), untuk tiga kejadian saling meniadakan P ( A atau B atau C ) = P ( A U B U C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A dan B) - P(A dan C) - P(B dan C) + P(A dan B dan C).
     2. Aturan Perkalian       Di dalam aturan perkalian, ada dua jenis kejadian, yaitu kejadian tak saling bebas (dependent event) dan kejadian saling bebas (independent event).       2.1 Kejadian tak saling bebas / bersyarat         Kejadian tak bebas adalah probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi bisa ditulis P(A/B), rumus yang digunakan adalah P(A dan B) = P(A)* P(B/A) atau  P(B)* P(A/B).       2.2 Kejadian saling bebas          Kejadian saling bebas adalah kejadian yang tidak saling mempengaruhi antara kejadian satu dengan yang lain. Secara sistematis misalkan diberikan kejadian A dan B, probabilitasnya dapat dirumuskan sebagai P(A dan B) = P(A)*P(B).

D. Teorema Bayes

     Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian.

Secara umum, teorema Bayes dinyatakan sebagai:

Dalam notasi ini P(A|B) berarti peluang kejadian A bila B terjadi dan P(B|A) peluang kejadian B bila A terjadi.

         

E. Frekuensi Harapan

     Rumus frekuensi harapan sebagai berikut:

.

F. Pendekatan Perhitungan Probabilitas

    1. Pendekatan Klasik

        Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian.Jika a banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A danb banyaknya kemungkinan yang tidak terjadi pada kejadian A, sertamasing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan salingasing, maka probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi adalah : a P(A) = a+b

Contoh: Peristiwa menjual dan membeli saham mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi pada kegiatan jual beli saham. Jumlah hasil ada 2 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi, maka probabilitas menjual atau membeli adalah sama, yaitu ½

    2. Pendekatan Frekuensi Relatif

        Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas ditentukan atas dasarproporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasiatau percobaan.Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karenapenentuan probabilitas didasarkan pada hasil obeservasi ataupengumpulan data.Disebut juga emprirical approach.

Contoh: Sebelum diadakan training untuk 100 karyawan, diedarkanangket terlebih dahulu. Dari angket tersebut didapat informasi bahwaterdapat 5 karyawan akan sakit gigi jika berada pada cuaca dingin. Jika training tetap diadakan pada daerah dengan cuaca dingin, makaprobabilitas seorang akan mengalami sakit gigi adalah . . . 5 P(A) = 100

    

    3. Pendekatan Subyektif

       Pendekatan subjektif dalam penentuan probabilitas adalah tepat atau cocok jika hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian. Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas suatu kejadian ditentukanberdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual denganberlandaskan pada semua petunjuk yang dimilikinya.Karena nilai probabilitas merupakan keputusan pribadi atau individual pendekatan ini sering disebut sebagai personal approach. 

Contoh: Menurut Mentri Keuangan Indonesia periode 1996-1998, Indonesia tidak akan pernah krisis karena pondasi ekonomi kuat.

Sumber:

https://www.slideshare.net/ceriaagnantria/probabilitas-2

https://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_(matematika)

http://adiputrasimanjuntak.blogspot.co.id/2015/07/pendekatan-probabilitas-klasik-relatif.html
http://slideplayer.info/slide/3653279/
https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Bayes
http://www.statsdata.my.id/2014/06/pengantar-probabilitas.html